数学公式

注意

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提示

本文仅供背诵公式，复习请以教材和笔记为主

复数
负数的模 $|z|=\sqrt{(x^2+y^2)}$
虚数单位 $i^2=-1$
共轭复数 $\overline{z}=x-yi$
一元二次方程的复数根 $x=\frac{-b±\sqrt{|Δ|i}}{2a}$
周期性 纯虚数的周期为4
二项式定理
通项公式 $T_(k+1)=C_n^k*a^(n-k)*b^k$
展开式项数 $n+1$
二项式系数 $C_n^k$
数列
等差数列
定义式 $a_n-a_(n-1)=d$
通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$
公差求前N项和 $S_n=na_1+n(n-1)d/2$
首末项求前N项和 $S_n=n(a_1+a_n )/2 $
等差中项 $2b=a+c$
$m+n=p+q$ 可推出 $a_m+a_n=a_p+a_q$
前N项和间差成等差数列
即 $S_n$ , $S_2n-S_n$ , $S_3n-S_2n$ , … 成等差数列
${S_n/n}$ 是以$a_1$为首项，$d/2$为公差的等差数列
等比数列
定义式 a_(n+1)/a_n =q
通项公式 a_n=a_1q^(n-1)
公比求前N项和 S_n=(a_1 (1-q^n ))/(1-q)
特殊地，q=1时， S_n=na_1
等比中项 b^2=ac
m+n=p+q 可推出 a_ma_n=a_pa_q
前N项和间差成等比数列
即 S_n , S_2n-S_n , S_3n-S_2n , … 成等比数列
常用的运算
1-q^4=1-(q2 )^2=(1+q2 )(1-q^2 )
1-q^{3=(1-q)(1+q+q}2 )
1-q^6=1-(q2 )^{3=(1-q)(1+q+q}2 )
立体几何
体积
椎体 V=1/3 Sh
圆台 V=1/3 (S_r+S_R+√(S_r S_R ))h
球体 V=4/3 πR^3
表面积
圆锥 S=πr^2+πrl
圆台 S=πr^2+πrl+πR2+πRl
球体 S=4πr^2
扇形
圆心角求弧长 l=αr
弧长求面积 S=1/2 lr
斜二侧面积关系 S_平面=2√2 S_直观
函数
定义域
对数函数定义域 x>0
指数函数定义域 x≠0
反比例函数定义域 x≠0
y=√x 定义域 x≥0
奇函数性质 f(-x)=-f(x)
偶函数性质 f(-x)=f(x)
若f(x)为增函数，则 -f(x) 为减函数，1/f(x) 为减函数
增函数+增函数=增函数
减函数+减函数=减函数
增函数-减函数=增函数
减函数-增函数=减函数
增函数+减函数=不一定
对于复合函数y=f[g(x)]
若f(x)与g(x)增减性相同，则y为增函数
若f(x)与g(x)增减性相反，则y为减函数
周期性与对称性的区分：x同号周期，异号对称
周期性
若 f(x+a)=f(x)，则f(x)周期为 a
若 f(x+a)=-f(x)，则f(x)周期为 2a
若 f(x+a)=1/f(x) ，则f(x)周期为 2a
若 f(x+a)=f(x-a)，则f(x)周期为 2a
若 f(x+a)+f(x+b)=c，则f(x)周期为 2|a-b|
若 f(x+a)f(x+b)=c，则f(x)周期为 2|a-b|
对称性
若 f(a-x)=f(a+x)，则f(x) 关于直线 x=a 对称
若 f(a+x)=f(b-x)，则f(x) 关于直线 x=(a+b)/2 对称
若 f(a+x)+f(a+x)=0，则f(x) 关于点 (a,0) 对称
若 f(a+x)-f(b-x)=0，则f(x) 关于点 ((a+b)/2,n/2) 对称
对称性推周期性 口诀：同性两距离，异性四距离
某周期函数两相邻对称轴为 x=a 和 x=b，则函数周期为 2|a-b|
某周期函数两相邻对称中心为 (a,0) 和 (b,0)，则函数周期为 2|a-b|
某周期函数一对称轴和与其相邻的一对称中心分别为 x=a 和 (b,0)，则函数周期为 4|a-b|
对称性与奇偶性
若f(x)为偶函数，则f(x+a)关于什么对称：直线 x=-a
若f(x)为奇函数，则f(x+a)关于什么对称：点 (-a,0)
若f(nx+b)为偶函数，则f(x)关于什么对称：直线 x=b
若f(nx+b)为奇函数，则f(x)关于什么对称：点 (b,0)
基本初等函数
指数函数
解析式 y=a^x
a的范围： a>0 且 a≠1
若0<a<1，则减
若a>1，则增
对数函数
解析式 y=log_a⁡x
a的范围： a>0 且 a≠1
若0<a<1，则减
若a>1，则增
幂函数
解析式 y=x^a
 
当x>0时
若a>0，则增
若a<0，则减
对勾函数
解析式 y=x+k/x , (k>0)
奇偶性：奇函数
最小值：2√k，当且仅当 x=k/x 时取最小值
双刀函数
解析式 y=x-k/x , (k>0)
奇偶性：奇函数
增减性：在 x<0 或 x>0 内分别单调递增
导数
基本初等函数的导函数
常数 c^'=0
幂函数 (x^n )^'=nx(n-1)
正弦函数 (sin⁡x )^'=cos⁡x
余弦函数 (cos⁡x )^'=-sin⁡x
指数函数 (a^x )^'=ax ln⁡a
对数函数 (log_a⁡x )^'=1/(x ln⁡a )
导数的四则运算（乘加除减）
加减：导函数直接加减
乘法：前导后不导，前不导后导
除法：上导下不导，上不导下导
复合函数的导函数 y=f[g(x)] 的导函数为 y^'=f' (x)g^' (x)
导函数求切线斜率 k=f^' (x_0 )
增函数的导函数值域 f^' (x)>0
极值点要求
导数为0
导函数必须穿越x轴
即 函数在该点改变单调性
三角函数
弧度制化为角度制 π=180°
求α/n所在象限：将每个象限均分为n份，从0度开始逆时针以4为周期标数，α为第几象限角，α/n就在标为几的象限块内
正弦函数为正的象限 1,2
余弦函数为正的象限 1,4
正切函数为正的象限 1,3
同角正余弦变换 sin^2⁡x+cos2⁡x=1
同角弦切变换 tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x
诱导公式 奇变偶不变，符号看象限
和差角公式
正弦 sin⁡(α±β)=sin⁡α cos⁡β±sin⁡β cos⁡α
余弦 cos⁡(α±β)=cos⁡α cos⁡β∓sin⁡α sin⁡β
正切 tan⁡(α±β)=(tan⁡α±tan⁡β)/(1∓tan⁡α tan⁡β )
口诀：谈谈一谈谈，上加下减
倍角公式
正弦 sin⁡2α=2 sin⁡α cos⁡α
余弦 cos⁡2α=cos^2⁡α-sin2⁡α
正切 tan⁡2α=(2 tan⁡α)/(1-tan^2⁡α )
辅助角公式
提公因数 √(a^2+b2 )
辅助角正切值 tan⁡φ=b/a
正弦函数性质
对称轴 x=π/2+kπ
对称中心 (kπ,0)
单调递增区间 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ]
正切函数性质
定义域 x≠π/2+kπ
值域 y∈R
奇偶性：奇函数
对称中心 (kπ/2,0)
单调递增区间 (-π/2+kπ,π/2+kπ)
最小正周期 π
正切函数角频率求周期 T=π/|ω|
图像的变换
平移：左加右减
平移后初相 φ=ωΔx
放缩
横向 横坐标变为原来的 1/ω 倍
纵向 纵坐标变为原来的 A 倍
解三角形
正弦定理 a/sin⁡A =b/sin⁡B =c/sin⁡C =2r 其中，r指外接圆半径
合比定理 a/sin⁡A =(a+b)/(sin⁡A+sin⁡B )=(a+b+c)/(sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C )
余弦定理 cos⁡A=(b^2+c2-a^2)/2bc
若 sin⁡A=cos⁡B , 则 A=π/2±B
边角边求面积 S=1/2 absin⁡C
内切圆半径求面积 S=1/2 (a+b+c)r
中线：向量法
角分线（已知顶角）：面积桥/角平分线订立
高线：面积桥
平面向量
数量积 a ⃗b ⃗=|a ⃗ ||b ⃗ |cos⁡〖<a ⃗,b ⃗>〗
投影长度 (a ⃗b ⃗)/|b ⃗ |
投影向量 (a ⃗b ⃗)/|b ⃗ | b ⃗/|b ⃗ |
坐标求数量积 a ⃗b ⃗=x_1 x_2+y_1 y_2
若 a ⃗ 与 b ⃗ 平行，则 x_1 y_2-x_2 y_1=0
若 a ⃗ 与 b ⃗ 垂直，则 a ⃗b ⃗=0
直线和圆
偏角求斜率 k=tan⁡α
两直线平行，斜率关系 相等
两直线垂直，斜率关系 负倒数 即 k_1k_2=-1
直线方程表示
点斜式 y-y_0=k(x-x_0)
斜截式 y=kx+m
一般式 Ax+By+C=0
两点式 (y-y_1)/(y_2-y_1 )=(x-x_1)/(x_2-x_1 )
截距式 x/a+y/b=1
距离
两点间 |AB|=√((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2 )
点到线 d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B2 )
两线间 d=|C_1-C_2 |/√(A^2+B2 )
圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)2=r^2
圆心为 (a,b) , 半径为 r
点与圆关系
点在圆外 |PO|>r
点在圆上 |PO|=r
点在圆内 |PO|<r
线与圆关系
相离 d>r
相切 d=r
相交 d<r
圆的弦长公式 |AB|=2√(r^2-d2 )
圆与圆关系
相离 |C_1 C_2 |>|r_1+r_2 |
外切 |C_1 C_2 |=|r_1+r_2 |
相交 |r_1-r_2 |<|C_1 C_2 |<|r_1+r_2 |
内切 |C_1 C_2 |=|r_1-r_2 |
内含 |C_1 C_2 |<|r_1-r_2 |
圆与圆公切线条数
相离 四条
外切 三条
相交 两条
内切 一条
内含 无
圆与圆公切线长度
外公切线 |AB|=√(|C_1 C_2 |^2-(r_2-r_1 )^2 )
内公切线 |AB|=√(|C_1 C_2 |^2-(r_2+r_1 )^2 )
过圆内一定点作
最长弦 直径
最短弦 垂直于直径 |FG|=2√(r^2-|CP|2 )
圆锥曲线
椭圆
定义 |PF_1 |+|PF_2 |=2a
标准方程 x^2/a2 +y^2/b2 =1 或 x^2/b2 +y^2/a2 =1
轴长
长轴长 2a
短轴长 2b
焦距为 2c
abc关系 a^2=b2+c^2
离心率 e=c/a
通径长公式 |P_1 P_2 |=(2b^2)/a
双曲线
定义 |(|PF_1 |-|PF_2 |)|=2a
标准方程 x^2/a2 -y^2/b2 =1 或 y^2/a2 -x^2/b2 =1
轴长
实轴 2a
虚轴 2b
焦距 2c
abc关系 c^2=a2+b^2
离心率 e=c/a
渐近线 y=±b/a x 或 x=±b/a y
通径长 (2b^2)/a
焦点到渐近线距离 b
抛物线
定义 |PF|=d_(p-l)
标准方程 y^2=±2px 或 x^2=±2py
焦点 F(±p/2,0) 或 F(0,±p/2)
准线 y=±p/2 或 x=±p/2
离心率 e=1
p 越大，开口越大
通径长 2p
抛物线上距离焦点最近的点 顶点
一过焦点弦PQ
以PQ为直径的圆与 该抛物线的准线 相切
以PF/QF为直径的圆与 y轴 相切
统计
方差 s^2=1/n [(x_1-x ̅ )^2+(x_2-x ̅ )^2+⋯+(x_n-x ̅ )^2 ]
标准差 √(s^2 )
当每个样本都变为ax_n+b时 提示：在以下的量中随机抽查
众数，平均数，第p百分位数：变为a倍+b
标准差，极差：变为a倍
方差：变为a^2倍
频率分布直方图
每个小正方形的面积表示 频率
纵坐标 频率/组距
线性回归方程
方程 y=b ̂x+a ̂
当 b ̂>0 时，y与x正相关
当 b ̂<0 时，y与x负相关
回归方程直线过定点 (x ̅,y ̅ )
归纳方法 分子分母可分别拆开组合
b ̂=(∑(i=1)^n▒〖x_i y_i 〗-nx ̅y ̅)/(∑(i=1)^n▒x_i2 -nx ̅^2 )
b ̂=(∑(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )(y_i-y ̅ ) )/(∑(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )
残差 e ̂=y-y ̂
残差带状区域图 越窄越好
相关系数 r
归纳方法 分子分母可分别拆开组合
r=(∑(i=1)^n▒〖x_i y_i 〗-nx ̅y ̅)/(√(∑(i=1)^n▒x_i2 -nx ̅^2 )* √(∑(i=1)^n▒y_i2 -ny ̅^2 ))
r=(∑(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )(y_i-y ̅ ) )/(√(∑(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )*√(∑(i=1)^n▒(y_i-y ̅ )^2 ))
取值范围 [-1,1]
r的绝对值趋近于1，则相关性强
r的绝对值趋近于0，则相关性弱
r与 b ̂ 同号
r=1 时，回归方程过全部离散数据点
决定系数 R^2
归纳方法 R^{2=1-(∑_(i=1)}n▒(y-y ̂ )^2 )/(∑_(i=1)^n▒(y-y ̅ )^2 )
R^2越大：残差平方和越小，相关性越强
独立性检验
零假设：零假设为H_0：认为___无关联
结论：若M>χ_α，根据α=__的独立性检验，H_0不成立，认为___有关
概率
相互独立 P(AB)=P(A)*P(B)
A的条件下B发生的概率 P(B│A)=P(AB)/P(A)
全概率公式 P(B)=P(A_1 )*P(B│A_1 )+⋯+P(A_n )P(B│A_n )
数学期望 E(X)=x_1 p_1+⋯+x_n p_n
若Y=aX+b，则 E(Y)=aE(X)+b
方差 D(X)=E(X^2 )-E^2 (X)
若Y=aX+b，则 D(Y)=a^2 D(X)
二项分布 X~B(n,p)
事件发生k次的概率 p(X=k)=C_n^k*pk(1-p)^(n-k)
期望 E(X)=np
方差 D(X)=np(1-p)
超几何分布 X~H(n,m,N)
事件发生k次的概率 p(X=k)=(C_m^k C(N-m)^(n-k))/(C_Nn )
期望 E(X)=np
正态分布 X~N(μ,σ^2 )
期望 E(X)=μ
方差 D(X)=σ^2
二态分布中，X大于μ的事件发生的概率为0.5
3σ原则
1σ p(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827
2σ p(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545
3σ p(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973